AK MSS - Einstieg in die Differentialrechnung

AK MSSHier wird ein grundvorstellungsorientierter Einstieg in die Differentialrechnung vorgestellt, der auf den Aufbau eines inhaltlichen Verständnisses der Differentialrechnung setzt.

Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff

Die die vier wesentlichen Grundvorstellungen zum Ableitungsbegriff sind Ableitung als TangentensteigungAbleitung als lokale ÄnderungsrateAbleitung als Verstärkungsfaktor sowie Ableitung als lokale lineare Approximation.

grundvorstellungen_zum_ableitungsbegriff_500.png

Eine kurze Einführung in diese vier Grundvorstellungen finden Sie in folgenden verlinkten Materialien:

Ausgearbeiteter Unterrichtsvorschlag als Moodle-Kurs

Hier wird ein ausgearbeiteter und mehrfach im Unterricht erprobter Vorschlag für eine Unterrichtsreihe zur Einführung in die Differentialrechnung im Landes-Moodle-RLP angeboten, der vor allem die beiden Grundvorstellungen Tangentensteigung und lokale Änderungsrate berücksichtigt. Der Kurs wird im Landes-Moodle-RLP angeboten. Er kann heruntergeladen und in der jeweils eigenen Moodle-Plattform der Schule hochgeladen werden..

Link zum Moodle-Kurs

  • Link

Ablaufplan der Unterrichtsreihe

unterrichtsreihe_einfuehrung_in_die_differentialrechnung_500.png

Idee der Unterrichtsreihe oder "Warum mit der Tür ins Haus fallen?"

Die Idee der Unterrichtsreihe besteht darin, dass die Schülerinnen und Schüler einen ersten Zugang zur Differenzialrechnung anhand einer für sie aus dem Alltag bekannten Situation (hier die Porsche-Aufgabe) finden. Dies dient mehreren Zwecken:

  1. Die Schülerinnen und Schüler können sich anhand einer bekannten Situation einen (Verständnis-)Anker aufbauen, auf den sie später immer wieder in neuen Situationen, die mit Hilfe der Differenzialrechnung zu lösen sind, zurückkommen und durch Analogiebildung zum Anker lösen können.
  2. Der Zugang ermöglicht einen Einstieg in die Differentialrechnung ohne vorherige Behandlung von Folgen. Grenzwertprozesse werden direkt bei der Erarbeitung der Ableitung intuitiv genutzt und erfasst.
  3. Es handelt sich um einen problemorientierten Einstieg. Das bedeutet insbesondere, dass er die Flexibilität bietet, auf die Ideen der Schülerinnen und Schüler einzugehen und die von ihnen in der Problemlösephase genutzten Intuitionen, die häufig nahe bei einer der oben genannten (normativen) Grundvorstellungen liegen, aufzugreifen. Die Themenabfolge lässt sich so, insbesondere im Block "Änderungsrate" auf die Denkprozesse des Kurses abstimmen.

Didaktische Kommentare zur Porsche-Aufgabe als Anker

Idee
Jeder versteht, was die Frage "Wie lange braucht ein Porsche, um von 0 auf 100 zu beschleunigen?" bedeutet. So können sich die Schülerinnen und Schüler von Anfang an auf die Lösung des Problems konzentrieren und werden nicht durch (noch) nicht verstandene mathematische Begriffe abgelenkt.

Die Begriffe

  • absolute Änderung
  • mittlere Änderungsrate
  • lokale Änderungsrate

werden inhaltlich erarbeitet und im Sachzusammenhang gedeutet, ohne die mathematischen Begriffe zu verwenden. Diese werden erst begrifflich gefasst, wenn die Lernenden ihre Bedeutung inhaltlich erfasst haben.

Auch die Alternative für den Grundkurs: "Wie schnell ist der Porsche nach 5s?" kann als Anker-Aufgabe betrachtet werden. Die enger geführte Fragestellung nach der Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt verhindert das unsystematische Suchen nach der Geschwindigkeit von 100 km/h. Zudem wird die Problematik der Umrechnung von Einheiten vermieden. 

Erfahrungen aus dem Unterricht

  • Viele Schülerinnen und Schüler beantworteten zunächst intuitiv die Leitfrage so, dass sie die Durchschnittsgeschwindigkeit (mittlere Änderungsrate) im vorgegebenen Zeitraum [0s; 5s] berechnen (die in etwa 100 km/h beträgt), was für einen Porsche eine viel zu lange Beschleunigungsdauer wäre.
  • Andere Schüler versuchen die Aufgabe mit Formeln aus der Physik zu lösen, aber abgesehen von der Formel für die Geschwindigkeit, helfen diese auch nicht weiter.
  • Eine erste Hürde stellt für Schüler die Umrechnung von km/h in m/s oder umgekehrt dar (100km/h = 27,8m/s).
  • Haben die Schüler den Unterschied zwischen der gesuchten Momentangeschwindigkeit und der von ihnen berechneten Durchschnittsgeschwindigkeiten verstanden, kann auch eine zentrale Lösungsidee leistungsstarker Schüler darin bestehen, sich Momentangeschwindigkeit so zu nähern, indem sie in ein Zeitintervall von 1s eine zurückgelegte Strecke von ca. 28m suchen.
  • Um die mittlere Änderungsrate für kleinere Zeitintervalle berechnen zu können, reichen die gegebenen Werte des ersten Arbeitsblattes nicht aus. Daher wird den Schülerinnen und Schülern sowohl eine passende Funktionsgleichung als auch der Graph dieser Funktion zu Verfügung gestellt, so dass zu jedem beliebigen Wert ein Funktionswert ermittelt werden kann. Es ist der Lehrkraft überlassen, ob sie diese Werkzeuge direkt an alle Lernenden ausgibt oder nur nach Aufforderung, bzw. Nachfrage durch die Lerngruppe.

Vom Anker zum Transfer

Nach der Erarbeitung der Begriffe im Kontext des Ankers erfolgen Übetragungen auf weitere geeignete Sachkontexte. Im hier vorgestellten Unterrichtsverlauf ist die Erarbeitung als Gruppenpuzzle (Gruppenarbeit mit arbeitsteiligen Expertengruppen und Stammgruppen) angelegt. Es ist auch denkbar, diese in Form einer Stationenarbeit oder ähnlicher Konzepte zu planen. In Form einer vorgegebenen Tabelle werden die Schülerinnen und Schüler in der Stammgruppenphase dazu aufgefordert, die unterschiedlichen Interpretationen der Begriffe in den Sachkontexten zusammenzuführen. Eine Vertiefung erfolgt durch die Erarbeitung eigener Aufgabenstellungen, die dann auch im weiteren Unterrichtsverlauf als Übungsaufgaben für andere Gruppen gewürdigt werden können.

Mögliche Sachkontexte:

  • Hochwasserprognose
  • Achterbahnbau
  • Höhenprofil einer Strecke, Aufstellung geeigneter Verkehrsschilder zur Steigung
  • Populationsentwicklung (evtl. Lotka-Volterra)
  • Aktienkurs
  • Wachstumsgeschwindigkeit bei der Körpergröße
  • Durchflussrate bei einem Staudamm
  • Segelflugbarogramm
  • Fahrtenschreiber
  • Verkaufszahlen
  • Fieberkurven
  • Füllkurven von Gefäßen
  • Medikamentenkonzentration im Körper
  • Deichneigung
  • Geländeneigung und -fahrzeuge
  • Downloadrate
  • Bekanntheitsgrad (potentielle Wählerstimmen)
  • Angebotsfunktion (angebotene Produktmenge und Preis)
  • Lichtabsorption (z. B. im Meer)
  • ...